专栏虽已结束，但学习不应停止。我看到很多同学依然还在这里学习，一部分同学积极地在留言区和大家分享学习总结和练习题答案。

我几乎在每个课时的结尾都留下了一道练习题，目的是帮助你检测和巩固本课时的重点内容，抑或是引出后续课时中的内容。在我处理留言的过程中，发现很多同学想要练习题详细解答过程以及答案，所以就有了今天的这一篇加餐内容，希望对你有所帮助。

接下来我会给出每个课时练习题的解题思路和答案，如果你没有找到对应的练习题答案，那么请你在正课中查找。

01 | 复杂度：如何衡量程序运行的效率？

【问题】 评估一下，如下的代码片段，时间复杂度是多少？

for (i = 0; i < n; i++) { 
	for (j = 0; j < n; j++) { 
		for (k = 0; k < n; k++) { 
		} 
		for (m = 0; m < n; m++) { 
		} 
	} 
}

【解析】 在上面的代码中：

• 第 3～5 行和 6～8 行，显然是一个 O(n) 复杂度的循环。这两个循环是顺序结构，因此合在一起的复杂度是 O(n) + O(n) = O(2n) = O(n)。
• 第 2～9 行是一个 for 循环，它的时间复杂度是 O(n)。这个 for 循环内部嵌套了 O(n) 复杂度的代码，因此合在一起就是 O(n ² ) 的时间复杂度。
• 在代码的最外部，第 1～10 行又是一个 O(n) 复杂度的循环，内部嵌套了 O(n ² ) 的时间复杂度的代码。因此合在一起就是 O(n ³ ) 的时间复杂度。

02 | 数据结构：将“昂贵”的时间复杂度转换成“廉价”的空间复杂度

【问题】 在下面这段代码中，如果要降低代码的执行时间，第 4 行代码需要做哪些改动呢？如果做出改动后，是否降低了时间复杂度呢？

public void s2_2() { 
	int count = 0; 
	for (int i = 0; i <= (100 / 7); i++) { 
		for (int j = 0; j <= (100 / 3); j++) { 
			if ((100-i*7-j*3 >= 0)&&((100-i*7-j*3) % 2 == 0)) { 
				count += 1; 
			} 
		} 
	} 
	System.out.println(count); 
}

【解析】 代码的第 4 行可以改为：

for (int j = 0; j <= (100-7*i) / 3; j++) {

代码改造完成后，时间复杂度并没有变小。但由于减少了一些不必要的计算量，程序的执行时间变少了。

03 | 增删查：掌握数据处理的基本操作，以不变应万变

【问题】 对于一个包含 5 个元素的数组，如果要把这个数组元素的顺序翻转过来。你可以试着分析该过程需要对数据进行哪些操作？

【解析】 假设原数组 a = {1,2,3,4,5}，现在要更改为 a = {5,4,3,2,1}。要想得到新的数组，就要找到 “1” 和 “5”，再分别把它们赋值给对方。因此，这里主要会产生大量的基于索引位置的查找动作。

04 | 如何完成线性表结构下的增删查？

【问题】 给定一个包含 n 个元素的链表，现在要求每 k 个节点一组进行翻转，打印翻转后的链表结果。例如，链表为 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6，k = 3，则打印 321654。

【解析】 我们给出一些提示。利用链表翻转的算法，这个问题应该很简单。利用 3 个指针，prev、curr、next，执行链表翻转，每次得到了 k 个翻转的结点就执行打印。

05 | 栈：后进先出的线性表，如何实现增删查？

【问题】 给定一个包含 n 个元素的链表，现在要求每 k 个节点一组进行翻转，打印翻转后的链表结果。例如，链表为 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6，k = 3，则打印 321654。要求用栈来实现。

【解析】 我们用栈来实现它，就很简单了。你可以牢牢记住，只要涉及翻转动作的题目，都是使用栈来解决的强烈信号。

具体的操作如下，设置一个栈，不断将队列数据入栈，并且实时记录栈的大小。当栈的大小达到 k 的时候，全部出栈。我们给出核心代码：

while (tmp != null && count < k) { 
    stack.push(tmp.value); 
    tmp = tmp.next; 
    count++; 
} 
while (!stack.isEmpty()) { 
    System.out.print(stack.pop()); 
}

07 | 数组：如何实现基于索引的查找？

详细分析和答案，请翻阅 18 课时例题 1。

08 | 字符串：如何正确回答面试中高频考察的字符串匹配算法？

详细分析和解题步骤，请参考 17 课时例题 1。

10 | 哈希表：如何利用好高效率查找的“利器”？

详细分析和答案，请翻阅 15 课时例题 1。

11 | 递归：如何利用递归求解汉诺塔问题？

详细分析和答案，请翻阅 16 课时例题 1。

12 | 分治：如何利用分治法完成数据查找？

【问题】 在一个有序数组中，查找出第一个大于 9 的数字，假设一定存在。例如，arr = { -1, 3, 3, 7, 10, 14, 14 }；则返回 10。

【解析】 在这里提醒一下，带查找的目标数字具备这样的性质：

• 第一，它比 9 大；
• 第二，它前面的数字（除非它是第一个数字），比 9 小。

因此，当我们作出向左走或向右走的决策时，必须满足这两个条件。代码如下：

public static void main(String[] args) { 
	int targetNumb = 9; 
	// 目标有序数组 
	int[] arr = { -1, 3, 3, 7, 10, 14, 14 }; 
	int middle = 0; 
	int low = 0; 
	int high = arr.length - 1; 
	while (low <= high) { 
		middle = (high + low) / 2; 
		if (arr[middle] > targetNumb && (middle == 0 || arr[middle - 1] <= targetNumb)) { 
			System.out.println("第一个比 " + targetNumb + " 大的数字是 " + arr[middle]); 
			break; 
		} else if (arr[middle] > targetNumb) { 
			// 说明该数在low~middle之间 
			high = middle - 1; 
		} else { 
			// 说明该数在middle~high之间 
			low = middle + 1; 
		} 
	}	 
}

14 | 动态规划：如何通过最优子结构，完成复杂问题求解？

详细分析和答案，请翻阅 16 课时例题 3。

15 | 定位问题才能更好地解决问题：开发前的复杂度分析与技术选型

【问题】 下面的代码采用了两个 for 循环去实现 two sums。那么，能否只使用一个 for 循环完成呢？

private static int[] twoSum(int[] arr, int target) { 
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); 
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 
        map.put(arr[i], i); 
    } 
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 
        int complement = target - arr[i]; 
        if (map.containsKey(complement) && map.get(complement) != i) { 
            return new int[] { map.get(complement), i }; 
        } 
    } 
    return null; 
}

【解析】 原代码中，第 3 和第 6 行的 for 循环合并后，就需要把 map 的新增、查找合在一起执行。则代码如下：

private static int[] twoSum(int[] arr, int target) { 
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); 
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 
        int complement = target - arr[i]; 
        if (map.containsKey(complement) && map.get(complement) != i) { 
            return new int[] { map.get(complement), i }; 
        } 
        else{ 
            map.put(arr[i], i); 
        } 
    } 
    return null; 
}

16 | 真题案例（一）：算法思维训练

【问题】 如果现在是个线上实时交互的系统。客户端输入 x，服务端返回斐波那契数列中的第 x 位。那么，这个问题使用上面的解法是否可行。

【解析】 这里给你一个小提示，既然我这么问，答案显然是不可行的。如果不可行，原因是什么呢？我们又该如何解决？

注意，题目中给出的是一个实时系统。当用户提交了 x，如果在几秒内没有得到系统响应，用户就会卸载 App 啦。

一个实时系统，必须想方设法在 O(1) 时间复杂度内返回结果。因此，一个可行的方式是，在系统上线之前，把输入 x 在 1～100 的结果预先就计算完，并且保存在数组里。当收到 1～100 范围内输入时，O(1) 时间内就可以返回。如果不在这个范围，则需要计算。计算之后的结果返回给用户，并在数组中进行保存。以方便后续同样输入时，能在 O(1) 时间内可以返回。

17 | 真题案例（二）：数据结构训练

【问题】 对于树的层次遍历，我们再拓展一下。如果要打印的不是层次，而是蛇形遍历，又该如何实现呢？蛇形遍历就是 s 形遍历，即奇数层从左到右，偶数层从右到左。

【解析】 这里要对数据的顺序进行逆序处理，直观上，你需要立马想到栈。毕竟只有栈是后进先出的结构，是能快速实现逆序的。具体而言，需要建立两个栈 s1 和 s2。进栈的顺序是，s1 先右后左，s2 先左后右。两个栈交替出栈的结果就是 s 形遍历，代码如下：

public ArrayList<ArrayList<Integer>> Print(TreeNodes pRoot) { 
    // 先右后左 
    Stack<TreeNodes> s1 = new Stack<TreeNodes>(); 
    // 先左后右 
    Stack<TreeNodes> s2 = new Stack<TreeNodes>(); 
    ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList<ArrayList<Integer>>(); 
    list.add(pRoot.val); 
    s1.push(pRoot); 
    while (s1.isEmpty() || s2.isEmpty()) { 
        if (s1.isEmpty() && s2.isEmpty()) { 
            break; 
        } 
        if (s2.isEmpty()) { 
            while (!s1.isEmpty()) { 
                if (s1.peek().right != null) { 
                    list.add(s1.peek().right.val); 
                    s2.push(s1.peek().right); 
                } 
                if (s1.peek().left != null) { 
                    list.add(s1.peek().left.val); 
                    s2.push(s1.peek().left); 
                } 
                s1.pop(); 
            } 
        } else { 
            while (!s2.isEmpty()) { 
                if (s2.peek().left != null) { 
                    list.add(s2.peek().left.val); 
                    s1.push(s2.peek().left); 
                } 
                if (s2.peek().right != null) { 
                    list.add(s2.peek().right.val); 
                    s1.push(s2.peek().right); 
                } 
                s2.pop(); 
            } 
        } 
    } 
    return list; 
}

18 | 真题案例（三）： 力扣真题训练

【问题】 给定一个链表，删除链表的倒数第 n 个节点。例如，给定一个链表: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5, 和 n = 2。当删除了倒数第二个节点后，链表变为 1 -> 2 -> 3 -> 5。你可以假设，给定的 n 是有效的。额外要求就是，要在一趟扫描中实现，即时间复杂度是 O(n)。这里给你一个提示，可以采用快慢指针的方法。

【解析】 定义快慢指针，slow 和 fast 并同时指向 header。然后，让 fast 指针先走 n 步。接着，让二者保持同样的速度，一起往前走。最后，fast 指针先到达终点，并指向了 null。此时，slow 指针的结果就是倒数第 n 个结点。比较简单，我们就不给代码了。

19 | 真题案例（四）：大厂真题实战演练

【问题】 小明从小就喜欢数学，喜欢在笔记里记录很多表达式。他觉得现在的表达式写法很麻烦，为了提高运算符优先级，不得不添加很多括号。如果不小心漏了一个右括号的话，就差之毫厘，谬之千里了。因此他改用前缀表达式，例如把 (2 + 3) * 4写成* + 2 3 4，这样就能避免使用括号了。这样的表达式虽然书写简单，但计算却不够直观。请你写一个程序帮他计算这些前缀表达式。

【解析】 在这个题目中，输入就是前缀表达式，输出就是计算的结果。你可以假设除法为整除，即 “5/3 = 1”。例如，输入字符串为 + 2 3，输出 5；输入字符串为 * + 2 2 3，输出为 12；输入字符串为 * 2 + 2 3，输出为 10。

假设输入字符串为 * 2 + 2 3，即 2*(2+3)。第一个字符为运算符号 *，它将对两个数字进行乘法。如果后面紧接着的字符不全是数字字符，那就需要暂存下来，先计算后面的算式。一旦后面的计算完成，就需要接着从后往前去继续计算。因为从后往前是一种逆序动作，我们能够很自然地想到可以用栈的数据结构进行存储。代码如下：

public static void main(String[] args) { 
    Stack<Object> stack = new Stack<Object>(); 
    String s = "* + 2 2 3"; 
    String attr[] = s.split(" "); 
    for (int i = attr.length - 1; i >= 0; i--) { 
        if (!(attr[i].equals("+") || attr[i].equals("-") || attr[i].equals("*") || attr[i].equals("/"))) { 
            stack.push(Integer.parseInt(attr[i])); 
        } else { 
            int a = (int) stack.pop();// 出栈 
            int b = (int) stack.pop();// 出栈 
            int result = Cal(a, b, attr[i]); // 调用函数计算结果值 
            stack.push(result); // 结果进栈 
        } 
    } 
    int ans = (int) stack.pop(); 
    System.out.print(ans); 
} 
public static int Cal(int a, int b, String s) { 
    switch (s) { 
        case "+": 
            return a + b; 
        case "-": 
            return a - b; 
        case "*": 
            return a * b; 
        case "/": 
            return a / b; 
    } 
    return 0; 
}

以上这些练习题你做得怎么样呢？还能回忆起来每道题是源自哪个算法知识点或哪个课时吗？

你可以把课后习题和课程中的案例都当作一个小项目，自己动手实践，即使有些题目你还不能写出完整的代码，那也可以尝试写出解题思路，从看不明白到能够理解，再到能联想到用什么数据结构和算法去解决什么样的问题，这是一个循序渐进的过程，切勿着急。

通过留言可以看出，你们都在认真地学习这门课程，也正因如此，我才愿意付出更多的时间优化这个已经完结的专栏。所以，请你不要犹豫，尽管畅所欲言，在留言区留下你的思考，也欢迎你积极地提问，更欢迎你为专栏提出建议，这样我才能更直接地看到你们的想法和收获。也许你的一条留言，就是下一篇加餐的主题。