15 浮点数和定点数(上):怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息?

在我们日常的程序开发中,不只会用到整数。更多情况下,我们用到的都是实数。比如,我们开发一个电商 App,商品的价格常常会是 9 块 9;再比如,现在流行的深度学习算法,对应的机器学习里的模型里的各个权重也都是 1.23 这样的数。可以说,在实际的应用过程中,这些有零有整的实数,是和整数同样常用的数据类型,我们也需要考虑到。

浮点数的不精确性

那么,我们能不能用二进制表示所有的实数,然后在二进制下计算它的加减乘除呢?先不着急,我们从一个有意思的小案例来看。

你可以在 Linux 下打开 Python 的命令行 Console,也可以在 Chrome 浏览器里面通过开发者工具,打开浏览器里的 Console,在里面输入“0.3 + 0.6”,然后看看你会得到一个什么样的结果。

>>> 0.3 + 0.6
0.8999999999999999

不知道你有没有大吃一惊,这么简单的一个加法,无论是在 Python 还是在 JavaScript 里面,算出来的结果居然不是准确的 0.9,而是 0.8999999999999999 这么个结果。这是为什么呢?

在回答为什么之前,我们先来想一个更抽象的问题。通过前面的这么多讲,你应该知道我们现在用的计算机通常用 16/32 个比特(bit)来表示一个数。那我问你,我们用 32 个比特,能够表示所有实数吗?

答案很显然是不能。32 个比特,只能表示 2 的 32 次方个不同的数,差不多是 40 亿个。如果表示的数要超过这个数,就会有两个不同的数的二进制表示是一样的。那计算机可就会一筹莫展,不知道这个数到底是多少。

40 亿个数看似已经很多了,但是比起无限多的实数集合却只是沧海一粟。所以,这个时候,计算机的设计者们,就要面临一个问题了:我到底应该让这 40 亿个数映射到实数集合上的哪些数,在实际应用中才能最划得来呢?

定点数的表示

有一个很直观的想法,就是我们用 4 个比特来表示 0~9 的整数,那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。然后我们把最右边的 2 个 0~9 的整数,当成小数部分;把左边 6 个 0~9 的整数,当成整数部分。这样,我们就可以用 32 个比特,来表示从 0 到 999999.99 这样 1 亿个实数了。

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这种用二进制来表示十进制的编码方式,叫作BCD 编码(Binary-Coded Decimal)。其实它的运用非常广泛,最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。在超市里面,我们的小数最多也就到分。这样的表示方式,比较直观清楚,也满足了小数部分的计算。

不过,这样的表示方式也有几个缺点。

**第一,这样的表示方式有点“浪费”。**本来 32 个比特我们可以表示 40 亿个不同的数,但是在 BCD 编码下,只能表示 1 亿个数,如果我们要精确到分的话,那么能够表示的最大金额也就是到 100 万。如果我们的货币单位是人民币或者美元还好,如果我们的货币单位变成了津巴布韦币,这个数量就不太够用了。

**第二,这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字。**我们在写程序的时候,实数的用途可能是多种多样的。有时候我们想要表示商品的金额,关心的是 9.99 这样小的数字;有时候,我们又要进行物理学的运算,需要表示光速,也就是 3×1083×108 这样很大的数字。那么,我们有没有一个办法,既能够表示很小的数,又能表示很大的数呢?

浮点数的表示

答案当然是有的,就是你可能经常听说过的浮点数(Floating Point),也就是float 类型

我们先来想一想。如果我们想在一张便签纸上,用一行来写一个十进制数,能够写下多大范围的数?因为我们要让人能够看清楚,所以字最小也有一个限制。你会发现一个和上面我们用 BCD 编码表示数一样的问题,就是纸张的宽度限制了我们能够表示的数的大小。如果宽度只放得下 8 个数字,那么我们还是只能写下最大到 99999999 这样的数字。

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有限宽度的便签,只能写下有限大小的数字

其实,这里的纸张宽度,就和我们 32 个比特一样,是在空间层面的限制。那么,在现实生活中,我们是怎么表示一个很大的数的呢?比如说,我们想要在一本科普书里,写一下宇宙内原子的数量,莫非是用一页纸,用好多行写下很多个 0 么?

当然不是了,我们会用科学计数法来表示这个数字。宇宙内的原子的数量,大概在 10 的 82 次方左右,我们就用 1.0×10821.0×1082 这样的形式来表示这个数值,不需要写下 82 个 0。

在计算机里,我们也可以用一样的办法,用科学计数法来表示实数。浮点数的科学计数法的表示,有一个IEEE的标准,它定义了两个基本的格式。一个是用 32 比特表示单精度的浮点数,也就是我们常常说的 float 或者 float32 类型。另外一个是用 64 比特表示双精度的浮点数,也就是我们平时说的 double 或者 float64 类型。

双精度类型和单精度类型差不多,这里,我们来看单精度类型,双精度你自然也就明白了。

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单精度的 32 个比特可以分成三部分。

第一部分是一个符号位,用来表示是正数还是负数。我们一般用s来表示。在浮点数里,我们不像正数分符号数还是无符号数,所有的浮点数都是有符号的。

接下来是一个 8 个比特组成的指数位。我们一般用e来表示。8 个比特能够表示的整数空间,就是 0~255。我们在这里用 1~254 映射到 -126~127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数,不仅仅想要表示很大的数,还希望能够表示很小的数,所以指数位也会有负数。

你发现没,我们没有用到 0 和 255。没错,这里的 0(也就是 8 个比特全部为 0) 和 255 (也就是 8 个比特全部为 1)另有它用,我们等一下再讲。

最后,是一个 23 个比特组成的有效数位。我们用f来表示。综合科学计数法,我们的浮点数就可以表示成下面这样:

(−1)s×1.f×2e(−1)s×1.f×2e

你会发现,这里的浮点数,没有办法表示 0。的确,要表示 0 和一些特殊的数,我们就要用上在 e 里面留下的 0 和 255 这两个表示,这两个表示其实是两个标记位。在 e 为 0 且 f 为 0 的时候,我们就把这个浮点数认为是 0。至于其它的 e 是 0 或者 255 的特殊情况,你可以看下面这个表格,分别可以表示出无穷大、无穷小、NAN 以及一个特殊的不规范数。

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我们可以以 0.5 为例子。0.5 的符号为 s 应该是 0,f 应该是 0,而 e 应该是 -1,也就是

0.5=(−1)0×1.0×2−1=0.50.5=(−1)0×1.0×2−1=0.5,对应的浮点数表示,就是 32 个比特。

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s=0,e=2−1s=0,e=2−1,需要注意,e 表示从 -126 到 127 个,-1 是其中的第 126 个数,这里的 e 如果用整数表示,就是 26+25+24+23+22+21=12626+25+24+23+22+21=126,1.f=1.01.f=1.0。

在这样的浮点数表示下,不考虑符号的话,浮点数能够表示的最小的数和最大的数,差不多是 1.17×10−381.17×10−38 和 3.40×10383.40×1038。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了。

总结延伸

你会看到,在这样的表示方式下,浮点数能够表示的数据范围一下子大了很多。正是因为这个数对应的小数点的位置是“浮动”的,它才被称为浮点数。随着指数位 e 的值的不同,小数点的位置也在变动。对应的,前面的 BCD 编码的实数,就是小数点固定在某一位的方式,我们也就把它称为定点数

回到我们最开头,为什么我们用 0.3 + 0.6 不能得到 0.9 呢?这是因为,浮点数没有办法精确表示 0.3、0.6 和 0.9。事实上,我们拿出 0.1~0.9 这 9 个数,其中只有 0.5 能够被精确地表示成二进制的浮点数,也就是 s = 0、e = -1、f = 0 这样的情况。

而 0.3、0.6 乃至我们希望的 0.9,都只是一个近似的表达。这个也为我们带来了一个挑战,就是浮点数无论是表示还是计算其实都是近似计算。那么,在使用过程中,我们该怎么来使用浮点数,以及使用浮点数会遇到些什么问题呢?下一讲,我会用更多的实际代码案例,来带你看看浮点数计算中的各种“坑”。

推荐阅读

如果对浮点数的表示还不是很清楚,你可以仔细阅读一下《计算机组成与设计:硬件 / 软件接口》的 3.5.1 节。